TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

X

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO 

EM=

Na mecânica quântica , a teoria de perturbação é um conjunto de esquemas de aproximação diretamente relacionados à perturbação matemática para descrever um sistema quântico complicado em termos de um mais simples. A ideia é começar com um sistema simples para o qual uma solução matemática é conhecida e adicionar um hamiltoniano "perturbador" adicional representando uma perturbação fraca para o sistema. Se a perturbação não for muito grande, as várias quantidades físicas associadas ao sistema perturbado (por exemplo, seus níveis de energia e estados próprios) podem ser expressos como "correções" para aqueles do sistema simples. Essas correções, por serem pequenas em comparação com o tamanho das próprias quantidades, podem ser calculadas usando métodos aproximados, como séries assintóticas . O sistema complicado pode, portanto, ser estudado com base no conhecimento do mais simples. Na verdade, está descrevendo um sistema complicado não resolvido usando um sistema simples resolvido.

Conteúdo

• 1Hamiltonianos aproximados
• 2Aplicando a teoria de perturbação
  • 2,1Limitações
    • 2.1.1Grandes perturbações
    • 2.1.2Estados não adiabáticos
    • 2.1.3Cálculos difíceis
• 3Teoria de perturbação independente do tempo
  • 3,1Correções de primeira ordem
  • 3,2Correções de segunda ordem e de ordem superior
  • 3,3Efeitos da degenerescência
  • 3,4Generalização para caso multiparâmetro
    • 3.4.1Hamiltoniano e operador de força
    • 3.4.2Teoria de perturbação como expansão em série de potência
    • 3.4.3Teoremas de Hellmann-Feynman
    • 3.4.4Correção de energia e estado
    • 3.4.5Hamiltoniano eficaz
• 4Teoria de perturbação dependente do tempo
  • 4,1Método de variação de constantes
  • 4,2Método da série Dyson
• 5Teoria de perturbação forte
• 6Exemplos
  • 6,1Exemplo de teoria de perturbação de primeira ordem - energia do estado fundamental do oscilador quártico
  • 6,2Exemplo de teoria de perturbação de primeira e segunda ordem - pêndulo quântico
  • 6,3Energia potencial como uma perturbação
• 7Formulários
• 8Referências
• 9links externos

Aproximado Hamiltonians [ editar ]

A teoria da perturbação é uma ferramenta importante para descrever sistemas quânticos reais, visto que é muito difícil encontrar soluções exatas para a equação de Schrödinger para hamiltonianos de complexidade até moderada. Os hamiltonianos para os quais conhecemos soluções exatas, como o átomo de hidrogênio , o oscilador harmônico quântico e a partícula em uma caixa , são idealizados demais para descrever adequadamente a maioria dos sistemas. Usando a teoria de perturbação, podemos usar as soluções conhecidas desses hamiltonianos simples para gerar soluções para uma série de sistemas mais complicados.

Aplicando teoria de perturbação [ editar ]

A teoria da perturbação é aplicável se o problema em questão não pode ser resolvido exatamente, mas pode ser formulado adicionando um termo "pequeno" à descrição matemática do problema exatamente solucionável.

Por exemplo, adicionando um potencial elétrico perturbativo ao modelo da mecânica quântica do átomo de hidrogênio, pequenas mudanças nas linhas espectrais do hidrogênio causadas pela presença de um campo elétrico (o efeito Stark ) podem ser calculadas. Isso é apenas aproximado porque a soma de um potencial Coulomb com um potencial linear é instável (não tem estados de ligação verdadeiros) embora o tempo de tunelamento ( taxa de decaimento ) seja muito longo. Esta instabilidade mostra-se como um alargamento das linhas do espectro de energia, que a teoria da perturbação falha em reproduzir inteiramente.

As expressões produzidas pela teoria de perturbação não são exatas, mas podem levar a resultados precisos, desde que o parâmetro de expansão, digamos α , seja muito pequeno. Normalmente, os resultados são expressos em termos de séries de potências finitas em α que parecem convergir para os valores exatos quando somados à ordem superior. Após uma certa ordem n ~ 1 / α , no entanto, os resultados tornam-se cada vez piores, uma vez que as séries são geralmente divergentes (sendo séries assintóticas ). Existem maneiras de convertê-los em séries convergentes, que podem ser avaliados para parâmetros de grande expansão, de forma mais eficiente pelo método variacional. Mesmo as perturbações convergentes podem convergir para a resposta errada e as expansões das perturbações divergentes às vezes podem dar bons resultados em ordem inferior ^[1]

Na teoria da eletrodinâmica quântica (QED), na qual a interação elétron - fóton é tratada perturbativamente, o cálculo do momento magnético do elétron foi encontrado para concordar com a experiência para onze casas decimais. ^[2] Em QED e outras teorias quânticas de campo , técnicas de cálculo especiais conhecidas como diagramas de Feynman são usadas para somar sistematicamente os termos da série de potências.

Limitações [ editar ]

Perturbações grandes [ editar ]

Sob algumas circunstâncias, a teoria de perturbação é uma abordagem inválida a ser tomada. Isso acontece quando o sistema que desejamos descrever não pode ser descrito por uma pequena perturbação imposta a algum sistema simples. Na cromodinâmica quântica , por exemplo, a interação dos quarks com o campo do glúon não pode ser tratada perturbativamente em baixas energias porque a constante de acoplamento (o parâmetro de expansão) torna-se muito grande. ^{[ esclarecimento necessário ]}

Estados não-adiabáticos [ editar ]

A teoria da perturbação também falha em descrever estados que não são gerados adiabaticamente a partir do "modelo livre", incluindo estados ligados e vários fenômenos coletivos, como os solitons . ^{[ carece de fontes? ]} Imagine, por exemplo, que temos um sistema de partículas livres (ou seja, sem interação), ao qual uma interação atrativa é introduzida. Dependendo da forma da interação, isso pode criar um conjunto inteiramente novo de estados próprios correspondentes a grupos de partículas ligadas umas às outras. Um exemplo desse fenômeno pode ser encontrado na supercondutividade convencional , em que a atração mediada por fônons entre elétrons de conduçãoleva à formação de pares de elétrons correlacionados conhecidos como pares de Cooper . Quando nos deparamos com tais sistemas, geralmente recorremos a outros esquemas de aproximação, como o método variacional e a aproximação WKB . Isso ocorre porque não há análogo de uma partícula ligada no modelo imperturbado e a energia de um sótão normalmente vai como o inverso do parâmetro de expansão. No entanto, se nos "integrarmos" sobre os fenômenos solitônicos, as correções não perturbativas neste caso serão minúsculas; da ordem de exp (−1 / g ) ou exp (−1 / g ² ) no parâmetro de perturbação g. A teoria da perturbação só pode detectar soluções "próximas" da solução não perturbada, mesmo se houver outras soluções para as quais a expansão perturbativa não seja válida. ^{[ citação necessária ]}

Cálculos difíceis [ editar ]

O problema dos sistemas não perturbativos foi um pouco aliviado com o advento dos computadores modernos . Tornou-se prático obter soluções numéricas não perturbativas para certos problemas, usando métodos como a teoria do funcional da densidade . Esses avanços têm sido particularmente benéficos para o campo da química quântica . ^[3] Computadores também têm sido usados ​​para realizar cálculos da teoria de perturbação para níveis extraordinariamente altos de precisão, o que se provou importante na física de partículas para gerar resultados teóricos que podem ser comparados com experimentos.

Teoria de perturbação independente do tempo [ editar ]

A teoria de perturbação independente do tempo é uma das duas categorias da teoria de perturbação, a outra sendo a perturbação dependente do tempo (consulte a próxima seção). Na teoria de perturbação independente do tempo, a perturbação hamiltoniana é estática (ou seja, não possui dependência do tempo). A teoria das perturbações independentes do tempo foi apresentada por Erwin Schrödinger em um artigo de 1926, ^[4] logo após ele ter produzido suas teorias em mecânica ondulatória. Neste artigo, Schrödinger se refere ao trabalho anterior de Lord Rayleigh , ^[5] que investigou as vibrações harmônicas de uma corda perturbada por pequenas inomogeneidades. É por isso que essa teoria de perturbação é freqüentemente referida como teoria de perturbação de Rayleigh-Schrödinger . ^[6]

Primeiras correções de ordem [ editar ]

O processo começa com um hamiltoniano não perturbado H ₀ , que se assume não ter dependência do tempo. ^[7] Ele tem níveis de energia e estados próprios conhecidos , decorrentes da equação de Schrödinger independente do tempo :

$${\ displaystyle H_ {0} \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle = E_ {n} ^ {(0)} \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle, \ qquad n = 1,2,3, \ cdots}

Para simplificar, presume-se que as energias são discretas. Os (0) sobrescritos denotam que essas quantidades estão associadas ao sistema não perturbado. Observe o uso da notação bra – ket .

Uma perturbação é então introduzida no hamiltoniano. Seja V um hamiltoniano representando uma perturbação física fraca, como uma energia potencial produzida por um campo externo. (Assim, V é formalmente um operador Hermitiano .) Seja λ um parâmetro adimensional que pode assumir valores que variam continuamente de 0 (sem perturbação) a 1 (a perturbação completa). O hamiltoniano perturbado é:

$${\ displaystyle H = H_ {0} + \ lambda V}

Os níveis de energia e autoestados do hamiltoniano perturbado são novamente dados pela equação de Schrödinger,

$${\ displaystyle \ left (H_ {0} + \ lambda V \ right) | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle.}

O objetivo é expressar E _n e$${\ displaystyle | n \ rangle}em termos dos níveis de energia e autoestados do antigo hamiltoniano. Se a perturbação for suficientemente fraca, eles podem ser escritos como uma série de potências (Maclaurin) em λ ,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {n} & = E_ {n} ^ {(0)} + \ lambda E_ {n} ^ {(1)} + \ lambda ^ {2} E_ {n} ^ {(2)} + \ cdots \\ | n \ rangle & = \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ lambda ^ {2} \ left | n ^ {(2)} \ right \ rangle + \ cdots \ end {alinhados}}}

Onde

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {n} ^ {(k)} & = {\ frac {1} {k!}} {\ frac {d ^ {k} E_ {n}} {d \ lambda ^ {k}}} {\ bigg |} _ {\ lambda = 0} \\\ esquerda | n ^ {(k)} \ direita \ rangle & = {\ frac {1} {k!}} {\ frac {d ^ {k} | n \ rangle} {d \ lambda ^ {k}}} {\ bigg |} _ {\ lambda = 0.} \ end {alinhado}}}

Quando k = 0 , eles se reduzem aos valores não perturbados, que são o primeiro termo de cada série. Como a perturbação é fraca, os níveis de energia e os estados próprios não devem se desviar muito de seus valores não perturbados, e os termos devem se tornar menores rapidamente à medida que a ordem é aumentada.

Substituir a expansão da série de potência na equação de Schrödinger produz:

$${\ displaystyle \ left (H_ {0} + \ lambda V \ right) \ left (\ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ cdots \ right) = \ left (E_ {n} ^ {(0)} + \ lambda E_ {n} ^ {(1)} + \ cdots \ right) \ left (\ left | n ^ {( 0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ cdots \ right).}

Expandir esta equação e comparar os coeficientes de cada potência de λ resulta em uma série infinita de equações simultâneas . A equação de ordem zero é simplesmente a equação de Schrödinger para o sistema não perturbado.

A equação de primeira ordem é

$${\ displaystyle H_ {0} \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle = E_ {n} ^ {(0)} \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + E_ {n} ^ {(1)} \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

Operando por $${\ displaystyle \ langle n ^ {(0)} |}, o primeiro termo do lado esquerdo cancela o primeiro termo do lado direito. (Lembre-se, o hamiltoniano imperturbado é hermitiano ). Isso leva à mudança de energia de primeira ordem,

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

Este é simplesmente o valor esperado da perturbação hamiltoniana enquanto o sistema está no estado não perturbado.

Este resultado pode ser interpretado da seguinte forma: supondo que a perturbação seja aplicada, mas o sistema seja mantido no estado quântico $${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle}, que é um estado quântico válido, embora não seja mais um estado próprio de energia. A perturbação faz com que a energia média deste estado aumente em$${\ displaystyle \ langle n ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle}. No entanto, a verdadeira mudança de energia é ligeiramente diferente, porque o autoestado perturbado não é exatamente o mesmo que$${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle}. Essas mudanças adicionais são dadas pelas correções de segunda ordem e de ordem superior à energia.

Antes que as correções para o autoestado de energia sejam calculadas, a questão da normalização deve ser abordada. Supondo que

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle = 1,}

mas a teoria da perturbação também assume que $${\ displaystyle \ langle n | n \ rangle = 1}.

Então, na primeira ordem em λ , o seguinte deve ser verdadeiro:

$${\ displaystyle \ left (\ left \ langle n ^ {(0)} \ right | + \ lambda \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ right) \ left (\ left | n ^ {( 0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle \ right) = 1}

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left .n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ lambda \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle + {\ cancel {\ lambda ^ {2} \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle}} = 1}

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle = 0.}

Uma vez que a fase geral não é determinada na mecânica quântica, sem perda de generalidade , na teoria independente do tempo pode-se supor que$${\ displaystyle \ langle n ^ {(0)} | n ^ {(1)} \ rangle}é puramente real. Portanto,

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle = \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle = - \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle,}

levando a

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle = 0.}

Para obter a correção de primeira ordem para o autoestado de energia, a expressão para a correção de energia de primeira ordem é inserida de volta no resultado mostrado acima, igualando os coeficientes de primeira ordem de λ . Então, usando a resolução da identidade :

{\ displaystyle {\ begin {align} V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle & = \ left (\ sum _ {k \ neq n} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | \ right) V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ left (\ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ right) V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {k \ neq n} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + E_ {n} ^ {(1) } \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle, \ end {alinhado}}}

onde o $${\ displaystyle | k ^ {(0)} \ rangle}estão no complemento ortogonal de$${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle}.

A equação de primeira ordem pode, portanto, ser expressa como

$${\ displaystyle \ left (E_ {n} ^ {(0)} - H_ {0} \ right) \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle = \ sum _ {k \ neq n} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

Supondo que o nível de energia de ordem _zero não seja degenerado , ou seja, que não haja autoestado de H ₀ no complemento ortogonal de$${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle} com a energia $${\ displaystyle E_ {n} ^ {(0)}}. Depois de renomear o índice dummy de soma acima como$${\ displaystyle k '}, qualquer $${\ displaystyle k \ neq n} pode ser escolhido e multiplicado por $${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} |} dando

$${\ displaystyle \ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)} \ right) \ left \ langle k ^ {(0)} \ right. \ left | n ^ { (1)} \ right \ rangle = \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

O de cima $${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} | n ^ {(1)} \ rangle} também nos dá o componente da correção de primeira ordem ao longo $${\ displaystyle | k ^ {(0)} \ rangle}.

Assim, no total, o resultado é,

$${\ displaystyle \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle = \ sum _ {k \ neq n} {\ frac {\ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle} {E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)}}} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle. }

A mudança de primeira ordem no n- ésimo mercado próprio de energia tem uma contribuição de cada um dos estados próprios de energia k ≠ n . Cada termo é proporcional ao elemento da matriz$${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle}, que é uma medida de quanto a perturbação mistura eigenstate n com eigenstate k ; também é inversamente proporcional à diferença de energia entre os estados próprios k e n , o que significa que a perturbação deforma o estado próprio em maior extensão se houver mais estados próprios em energias próximas. A expressão é singular se qualquer um desses estados tiver a mesma energia do estado n, razão pela qual foi assumido que não há degeneração. A fórmula acima para os autoestados perturbados também implica que a teoria de perturbação pode ser legitimamente usada apenas quando a magnitude absoluta dos elementos da matriz da perturbação é pequena em comparação com as diferenças correspondentes nos níveis de energia não perturbados, ou seja,$${\ displaystyle | \ langle k ^ {(0)} | \ lambda V | n ^ {(0)} \ rangle | \ ll | E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0 )} |.}

-Segunda ordem e de ordem mais elevada correções [ editar ]

Podemos encontrar os desvios de ordem superior por um procedimento semelhante, embora os cálculos se tornem bastante tediosos com nossa formulação atual. Nossa prescrição de normalização dá que

$${\ displaystyle 2 \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(2)} \ right \ rangle + \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left. n ^ {(1)} \ right \ rangle = 0.}

Até a segunda ordem, as expressões para as energias e autoestados (normalizados) são:

$${\ displaystyle E_ {n} (\ lambda) = E_ {n} ^ {(0)} + \ lambda \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda ^ {2} \ sum _ {k \ neq n} {\ frac {\ left | \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0 )} \ right \ rangle \ right | ^ {2}} {E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)}}} + O (\ lambda ^ {3})}

${\displaystyle {\begin{aligned}|n(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}}$

Estendendo o processo ainda mais, a correção de energia de terceira ordem pode ser mostrada como ^[8]

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(3)} = \ sum _ {k \ neq n} \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle n ^ {(0)} | V | m ^ {(0)} \ rangle \ langle m ^ {(0)} | V | k ^ {(0)} \ rangle \ langle k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle} {\ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)} \ right) \ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0 )} \ right)}} - \ langle n ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {| \ langle n ^ {(0 )} | V | m ^ {(0)} \ rangle | ^ {2}} {\ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)} \ right) ^ { 2}}}.}

Correções de quinta ordem (energias) e quarta ordem (estados) em notação compacta

Efeitos da degenerescência [ editar ]

Suponha que dois ou mais estados próprios de energia do hamiltoniano não perturbado sejam degenerados . A mudança de energia de primeira ordem não está bem definida, uma vez que não há uma maneira única de escolher uma base de estados próprios para o sistema não perturbado. Os vários estados próprios para uma dada energia irão perturbar com energias diferentes, ou podem muito bem não possuir nenhuma família contínua de perturbações.

Isso se manifesta no cálculo do autoestado perturbado pelo fato de que o operador

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(0)} - H_ {0}}

não tem um inverso bem definido.

Deixe D denotar o subespaço abrangido por esses autoestados degenerados. Não importa quão pequena seja a perturbação, no subespaço degenerado D as diferenças de energia entre os autoestados de H são diferentes de zero, então a mistura completa de pelo menos alguns desses estados é garantida. Tipicamente, os valores próprios vão dividir, e os auto-espaços irão tornar-se simples (unidimensional), ou, pelo menos, de dimensão menor do que D .

As perturbações de sucesso não será "pequeno" em relação a uma base mal escolhido de D . Em vez disso, nós consideramos a perturbação "pequeno" se o novo eigenstate está perto do subespaço D . O novo hamiltoniano deve ser diagonalizado em D , ou uma ligeira variação de D , por assim dizer. Esses autoestados perturbados em D são agora a base para a expansão da perturbação,

$${\ displaystyle | n \ rangle = \ sum _ {k \ in D} \ alpha _ {nk} | k ^ {(0)} \ rangle + \ lambda | n ^ {(1)} \ rangle.}

Para a perturbação de primeira ordem, precisamos resolver o hamiltoniano perturbado restrito ao subespaço D degenerado ,

$${\ displaystyle V | k ^ {(0)} \ rangle = \ epsilon _ {k} | k ^ {(0)} \ rangle + {\ text {small}} \ qquad \ forall | k ^ {(0) } \ rangle \ em D,}

simultaneamente para todos os auto-estados degenerados, onde $${\ displaystyle \ epsilon _ {k}} são correções de primeira ordem para os níveis de energia degenerados, e "pequeno" é um vetor de $${\ displaystyle O (\ lambda)}ortogonal para D . Isso equivale a diagonalizar a matriz

$${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} | V | l ^ {(0)} \ rangle = V_ {kl} \ qquad \ forall \; | k ^ {(0)} \ rangle, | l ^ { (0)} \ rangle \ em D.}

Este procedimento é aproximado, uma vez que negligenciamos estados fora do subespaço D ("pequeno"). A divisão de energias degeneradas$${\ displaystyle \ epsilon _ {k}}é geralmente observada. Embora a divisão possa ser pequena,$${\ displaystyle O (\ lambda)}, em comparação com a gama de energias encontradas no sistema, é crucial para a compreensão de certos detalhes, como linhas espectrais em experimentos de ressonância de spin de elétrons .

Correções de ordem superior devido a outros estados próprios fora de D podem ser encontradas da mesma maneira que para o caso não degenerado,

$${\ displaystyle \ left (E_ {n} ^ {(0)} - H_ {0} \ right) | n ^ {(1)} \ rangle = \ sum _ {k \ not \ in D} \ left (\ langle k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle \ right) | k ^ {(0)} \ rangle.}

O operador do lado esquerdo não é singular quando aplicado a autoestados fora de D , então podemos escrever

$${\ displaystyle | n ^ {(1)} \ rangle = \ sum _ {k \ not \ in D} {\ frac {\ langle k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle } {E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)}}} | k ^ {(0)} \ rangle,}

mas o efeito sobre os estados degenerados é de $${\ displaystyle O (\ lambda)}.

Os estados quase degenerados também devem ser tratados de forma semelhante, quando as divisões hamiltonianas originais não são maiores do que a perturbação no subespaço quase degenerado. Uma aplicação é encontrada no modelo de elétron quase livre , onde quase degenerescência, tratada adequadamente, dá origem a um gap de energia mesmo para pequenas perturbações. Outros estados próprios irão apenas deslocar a energia absoluta de todos os estados quase degenerados simultaneamente.

Generalização para caso multi-parâmetro [ editar ]

A generalização da teoria de perturbação independente do tempo para o caso em que existem vários pequenos parâmetros $${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {1}, x ^ {2}, \ cdots)}no lugar de λ pode ser formulado mais sistematicamente usando a linguagem da geometria diferencial , que basicamente define as derivadas dos estados quânticos e calcula as correções perturbativas tomando as derivadas iterativamente no ponto não perturbado.

Hamiltoniano e força operador [ editar ]

Do ponto de vista geométrico diferencial, um Hamiltoniano parametrizado é considerado como uma função definida na variedade de parâmetros que mapeia cada conjunto particular de parâmetros$${\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, \ cdots)}a um operador Hermitiano H ( x ^μ ) que atua no espaço de Hilbert. Os parâmetros aqui podem ser campo externo, força de interação ou parâmetros de condução na transição de fase quântica . Seja E _n ( x ^μ ) e$${\ displaystyle | n (x ^ {\ mu}) \ rangle}ser o n -simo eigenenergy e autoestado de H ( x ^μ ) , respectivamente. Na linguagem da geometria diferencial, os estados$${\ displaystyle | n (x ^ {\ mu}) \ rangle}formar um pacote vetorial sobre a variedade de parâmetros, na qual as derivadas desses estados podem ser definidas. A teoria da perturbação deve responder à seguinte questão: dado$${\ displaystyle E_ {n} (x_ {0} ^ {\ mu})} e $${\ displaystyle | n (x_ {0} ^ {\ mu}) \ rangle} em um ponto de referência imperturbado $${\ displaystyle x_ {0} ^ {\ mu}}, como estimar o E _n ( x ^μ ) e$${\ displaystyle | n (x ^ {\ mu}) \ rangle}em x ^μ perto desse ponto de referência.

Sem perda de generalidade, o sistema de coordenadas pode ser deslocado, de modo que o ponto de referência $${\ displaystyle x_ {0} ^ {\ mu} = 0}está definido para ser a origem. O seguinte hamiltoniano parametrizado linearmente é freqüentemente usado

$${\ displaystyle H (x ^ {\ mu}) = H (0) + x ^ {\ mu} F _ {\ mu}.}

Se os parâmetros x ^μ são considerados como coordenadas generalizadas, então F _μ deve ser identificado como os operadores de força generalizada relacionados a essas coordenadas. Diferentes índices μ rotulam as diferentes forças ao longo de diferentes direções na variedade de parâmetros. Por exemplo, se x ^μ denota o campo magnético externo na direção μ , então F _μ deve ser a magnetização na mesma direção.

Teoria de perturbação como a expansão em série de potências [ editar ]

A validade da teoria de perturbação reside na suposição adiabática, que assume que as autoenergias e os autoestados do hamiltoniano são funções suaves de parâmetros de modo que seus valores na região de vizinhança podem ser calculados em séries de potências (como expansão de Taylor ) dos parâmetros:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {n} (x ^ {\ mu}) & = E_ {n} + x ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} E_ {n} + {\ frac { 1} {2!}} X ^ {\ mu} x ^ {\ nu} \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} E_ {n} + \ cdots \\\ esquerda | n (x ^ { \ mu}) \ right \ rangle & = | n \ rangle + x ^ {\ mu} | \ partial _ {\ mu} n \ rangle + {\ frac {1} {2!}} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} | \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} n \ rangle + \ cdots \ end {alinhado}}}

Aqui, ∂ _µ denota a derivada em relação a x ^µ . Ao aplicar para o estado$${\ displaystyle | \ partial _ {\ mu} n \ rangle}, deve ser entendido como a derivada covariante se o feixe vetorial estiver equipado com conexão não-evanescente . Todos os termos do lado direito da série são avaliados em x ^μ = 0 , por exemplo, E _n ≡ E _n (0) e$${\ displaystyle | n \ rangle \ equiv | n (0) \ rangle}. Esta convenção será adotada ao longo desta subseção, que todas as funções sem a dependência de parâmetro explicitamente declarada são consideradas avaliadas na origem. As séries de potências podem convergir lentamente ou até mesmo não convergir quando os níveis de energia estão próximos uns dos outros. A suposição adiabática quebra quando há degeneração do nível de energia e, portanto, a teoria da perturbação não é aplicável nesse caso.

Teoremas Hellmann-Feynman [ editar ]

A expansão da série de potências acima pode ser avaliada prontamente se houver uma abordagem sistemática para calcular as derivadas de qualquer ordem. Usando a regra da cadeia , as derivadas podem ser divididas em uma única derivada na energia ou no estado. Os teoremas de Hellmann-Feynman são usados ​​para calcular essas derivadas simples. O primeiro teorema de Hellmann-Feynman dá a derivada da energia,

$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} E_ {n} = \ langle n | \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle}

O segundo teorema de Hellmann-Feynman dá a derivada do estado (resolvido pela base completa com m ≠ n),

$${\ displaystyle \ langle m | \ partial _ {\ mu} n \ rangle = {\ frac {\ langle m | \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {m}} }, \ qquad \ langle \ partial _ {\ mu} m | n \ rangle = {\ frac {\ langle m | \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ {m} -E_ {n} }}.}

Para o hamiltoniano parametrizado linearmente, ∂ _μ H simplesmente representa o operador de força generalizada F _μ .

Os teoremas podem ser derivados simplesmente aplicando o operador diferencial ∂ _μ a ambos os lados da equação de Schrödinger $${\ displaystyle H | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle,} que lê

$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle + H | \ partial _ {\ mu} n \ rangle = \ partial _ {\ mu} E_ {n} | n \ rangle + E_ {n} | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle.}

Em seguida, sobreponha-se ao estado $${\ displaystyle \ langle m |} da esquerda e faça uso da equação de Schrödinger $${\ displaystyle \ langle m | H = \ langle m | E_ {m}} novamente,

$${\ displaystyle \ langle m | \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle + E_ {m} \ langle m | \ partial _ {\ mu} n \ rangle = \ partial _ {\ mu} E_ {n} \ langle m | n \ rangle + E_ {n} \ langle m | \ partial _ {\ mu} n \ rangle.}

Dado que os autoestados do hamiltoniano sempre formam uma base ortonormal $${\ displaystyle \ langle m | n \ rangle = \ delta _ {mn}}, os casos de m = n e m ≠ n podem ser discutidos separadamente. O primeiro caso levará ao primeiro teorema e o segundo caso ao segundo teorema, que pode ser mostrado imediatamente reorganizando os termos. Com as regras diferenciais dadas pelos teoremas de Hellmann-Feynman, a correção perturbativa para as energias e estados pode ser calculada sistematicamente.

Correção de energia e estado [ editar ]

Para a segunda ordem, a correção de energia lê

$${\ displaystyle E_ {n} (x ^ {\ mu}) = \ langle n | H | n \ rangle + \ langle n | \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle x ^ {\ mu} + \ Re \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle n | \ partial _ {\ nu} H | m \ rangle \ langle m | \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ { n} -E_ {m}}} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} + \ cdots,}

Onde $${\ displaystyle \ Re}denota a função da parte real . A derivada de primeira ordem ∂ _μ E _n é dada diretamente pelo primeiro teorema de Hellmann-Feynman. Para obter a derivada de segunda ordem ∂ _μ ∂ _ν E _n , basta aplicar o operador diferencial ∂ _μ ao resultado da derivada de primeira ordem$${\ displaystyle \ langle n | \ partial _ {\ nu} H | n \ rangle}, que lê

$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} E_ {n} = \ langle \ partial _ {\ mu} n | \ partial _ {\ nu} H | n \ rangle + \ langle n | \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} H | n \ rangle + \ langle n | \ partial _ {\ nu} H | \ partial _ {\ mu} n \ rangle.}

Observe que para o hamiltoniano parametrizado linearmente, não há uma segunda derivada ∂ _μ ∂ _ν H = 0 no nível do operador. Resolva a derivada de estado inserindo o conjunto completo de base,

$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} E_ {n} = \ sum _ {m} \ left (\ langle \ partial _ {\ mu} n | m \ rangle \ langle m | \ parcial _ {\ nu} H | n \ rangle + \ langle n | \ partial _ {\ nu} H | m \ rangle \ langle m | \ partial _ {\ mu} n \ rangle \ right),}

então todas as partes podem ser calculadas usando os teoremas de Hellmann-Feynman. Em termos de derivadas de Lie,$${\ displaystyle \ langle \ partial _ {\ mu} n | n \ rangle = \ langle n | \ partial _ {\ mu} n \ rangle = 0}de acordo com a definição da conexão para o feixe vetorial. Portanto, o caso m = n pode ser excluído da soma, o que evita a singularidade do denominador de energia. O mesmo procedimento pode ser realizado para derivadas de ordem superior, a partir das quais as correções de ordem superior são obtidas.

O mesmo esquema computacional é aplicável para a correção de estados. O resultado para a segunda ordem é o seguinte

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|n\left(x^{\mu }\right)\right\rangle =|n\rangle &+\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle x^{\mu }\\&+\left(\sum _{m\neq n}\sum _{l\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{l})}}|m\rangle -\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|m\rangle -{\frac {1}{2}}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\mu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|n\rangle \right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .\end{aligned}}}$

Tanto os derivados de energia quanto os derivados de estado estarão envolvidos na dedução. Sempre que uma derivada de estado é encontrada, resolva-a inserindo o conjunto completo de bases, então o teorema de Hellmann-Feynman é aplicável. Como a diferenciação pode ser calculada sistematicamente, a abordagem de expansão em série para as correções perturbativas pode ser codificada em computadores com software de processamento simbólico como o Mathematica .

Eficaz Hamiltonian [ editar ]

Seja H (0) o hamiltoniano completamente restrito no subespaço de baixa energia$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {L}} ou no subespaço de alta energia $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {H}}, de modo que não há elemento de matriz em H (0) conectando os subespaços de baixa e alta energia, ou seja,$${\ displaystyle \ langle m | H (0) | l \ rangle = 0} E se $${\ displaystyle m \ in {\ mathcal {H}} _ {L}, l \ in {\ mathcal {H}} _ {H}}. Sejam F _μ = ∂ _μ H os termos de acoplamento que conectam os subespaços. Então, quando os graus de liberdade de alta energia são integrados, o hamiltoniano efetivo no subespaço de baixa energia lê ^[9]

$${\ displaystyle H_ {mn} ^ {\ text {eff}} \ left (x ^ {\ mu} \ right) = \ langle m | H | n \ rangle + \ delta _ {nm} \ langle m | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle x ^ {\ mu} + {\ frac {1} {2!}} \ sum _ {l \ in {\ mathcal {H}} _ {H}} \ left ( {\ frac {\ langle m | \ partial _ {\ mu} H | l \ rangle \ langle l | \ partial _ {\ nu} H | n \ rangle} {E_ {m} -E_ {l}}} + {\ frac {\ langle m | \ partial _ {\ nu} H | l \ rangle \ langle l | \ partial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {l}}} \ direita) x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} + \ cdots.}

Aqui $${\ displaystyle m, n \ in {\ mathcal {H}} _ {L}}são restritos no subespaço de baixa energia. O resultado acima pode ser obtido pela expansão da série de potências de$${\ displaystyle \ langle m | H (x ^ {\ mu}) | n \ rangle}.

De uma maneira formal, é possível definir um hamiltoniano eficaz que forneça exatamente os estados de energia e as funções de onda mais baixas. ^[10] Na prática, algum tipo de aproximação (teoria de perturbação) é geralmente necessária.

Teoria de perturbação dependente do tempo [ editar ]

Método de variação das constantes [ editar ]

A teoria de perturbação dependente do tempo, desenvolvida por Paul Dirac , estuda o efeito de uma perturbação dependente do tempo V ( t ) aplicada a um hamiltoniano independente do tempo H ₀ . ^[11]

Como o hamiltoniano perturbado é dependente do tempo, seus níveis de energia e estados próprios também o são. Assim, os objetivos da teoria de perturbação dependente do tempo são ligeiramente diferentes da teoria de perturbação independente do tempo. Um está interessado nas seguintes quantidades:

• O valor esperado dependente do tempo de algum A observável , para um determinado estado inicial.
• As amplitudes dependentes do tempo ^{[ clarificação necessária ]} daqueles estados quânticos que são autovetores de energia (autovetores) no sistema imperturbado.

A primeira quantidade é importante porque dá origem ao resultado clássico de uma medição A realizada em um número macroscópico de cópias do sistema perturbado. Por exemplo, poderíamos considerar A como o deslocamento na direção x do elétron em um átomo de hidrogênio, caso em que o valor esperado, quando multiplicado por um coeficiente apropriado, fornece a polarização dielétrica dependente do tempo de um gás hidrogênio. Com uma escolha apropriada de perturbação (ou seja, um potencial elétrico oscilante), isso permite calcular a permissividade AC do gás.

A segunda quantidade olha para a probabilidade de ocupação dependente do tempo para cada estado próprio. Isso é particularmente útil na física do laser , onde se está interessado nas populações de diferentes estados atômicos em um gás quando um campo elétrico dependente do tempo é aplicado. Essas probabilidades também são úteis para calcular o "alargamento quântico" das linhas espectrais (veja o alargamento da linha ) e o decaimento das partículas em física de partículas e física nuclear .

Examinaremos brevemente o método por trás da formulação de Dirac da teoria das perturbações dependentes do tempo. Escolha uma base de energia$${\ displaystyle {| n \ rangle}}para o sistema imperturbado. (Eliminamos os (0) sobrescritos para os estados próprios, porque não é útil falar de níveis de energia e estados próprios para o sistema perturbado.)

Se o sistema imperturbado for um estado próprio (do hamiltoniano) $${\ displaystyle | j \ rangle}no tempo t = 0, seu estado em tempos subsequentes varia apenas por uma fase (na imagem de Schrödinger , onde os vetores de estado evoluem no tempo e os operadores são constantes),

$${\ displaystyle | j (t) \ rangle = e ^ {- iE_ {j} t / \ hbar} | j \ rangle ~.}

Agora, introduza um hamiltoniano perturbador dependente do tempo V ( t ) . O hamiltoniano do sistema perturbado é

$${\ displaystyle H = H_ {0} + V (t) ~.}

Deixei $${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}denotam o estado quântico do sistema perturbado no tempo t . Ele obedece à equação de Schrödinger dependente do tempo,

$${\ displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle ~.}

O estado quântico em cada instante pode ser expresso como uma combinação linear da base própria completa de $${\ displaystyle | n \ rangle}:

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle ~,}

( 1 )

onde os c _n ( t ) s devem ser determinadas funções complexas de t, às quais nos referiremos como amplitudes (estritamente falando, são as amplitudes na imagem de Dirac ).

Extraímos explicitamente os fatores de fase exponencial $${\ displaystyle \ exp (-iE_ {n} t / \ hbar)}no lado direito. Isso é apenas uma questão de convenção e pode ser feito sem perda de generalidade. A razão de termos este problema é que quando o sistema inicia no estado$${\ displaystyle | j \ rangle}e nenhuma perturbação está presente, as amplitudes têm a propriedade conveniente de que, para todo t , c _j ( t ) = 1 e c _n ( t ) = 0 se n ≠ j .

O quadrado da amplitude absoluta c _n ( t ) é a probabilidade de o sistema estar no estado n no tempo t , uma vez que

$${\ displaystyle \ left | c_ {n} (t) \ right | ^ {2} = \ left | \ langle n | \ psi (t) \ rangle \ right | ^ {2} ~.}

Conectando-se à equação de Schrödinger e usando o fato de que ∂ / ∂ t atua por uma regra de produto , obtém-se

$${\ displaystyle \ sum _ {n} \ left (i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} c_ {n}} {\ mathrm {d} t}} - c_ {n} (t) V (t) \ right) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle = 0 ~.}

Resolvendo a identidade na frente de V e multiplicando pelo sutiã $${\ displaystyle \ langle n |}à esquerda, isso pode ser reduzido a um conjunto de equações diferenciais acopladas para as amplitudes,

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} c_ {n}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {-i} {\ hbar}} \ sum _ {k} \ langle n | V (t) | k \ rangle \, c_ {k} (t) \, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {n}) t / \ hbar} ~.}

onde usamos a equação ( 1 ) para avaliar a soma de n no segundo termo, então usamos o fato de que$${\ displaystyle \ langle k | \ Psi (t) \ rangle = c_ {k} (t) e ^ {- iE_ {k} t / \ hbar}}.

Os elementos da matriz de V desempenham um papel semelhante ao da teoria de perturbação independente do tempo, sendo proporcionais à taxa na qual as amplitudes são deslocadas entre os estados. Observe, entretanto, que a direção do deslocamento é modificada pelo fator de fase exponencial. Com o tempo, muito mais do que a diferença de energia E _k - E _n , a fase gira em torno de 0 várias vezes. Se a dependência do tempo de V for suficientemente lenta, isso pode fazer com que as amplitudes de estado oscilem. (Por exemplo, essas oscilações são úteis para gerenciar as transições radiativas em um laser .)

Até este ponto, não fizemos nenhuma aproximação, então este conjunto de equações diferenciais é exato. Fornecendo valores iniciais apropriados c _n ( t ) , poderíamos, em princípio, encontrar uma solução exata (isto é, não perturbativa). Isso é feito facilmente quando há apenas dois níveis de energia ( n = 1, 2) e essa solução é útil para modelar sistemas como a molécula de amônia .

No entanto, soluções exatas são difíceis de encontrar quando existem muitos níveis de energia e, em vez disso, procura-se soluções perturbativas. Estes podem ser obtidos expressando as equações em uma forma integral,

$${\ displaystyle c_ {n} (t) = c_ {n} (0) + {\ frac {-i} {\ hbar}} \ sum _ {k} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ ; \ langle n | V (t ') | k \ rangle \, c_ {k} (t') \, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {n}) t '/ \ hbar} ~. }

Substituir repetidamente esta expressão por c _{n de} volta no lado direito, produz uma solução iterativa,

$${\ displaystyle c_ {n} (t) = c_ {n} ^ {(0)} + c_ {n} ^ {(1)} + c_ {n} ^ {(2)} + \ cdots}

onde, por exemplo, o termo de primeira ordem é

$${\ displaystyle c_ {n} ^ {(1)} (t) = {\ frac {-i} {\ hbar}} \ sum _ {k} \ int _ {0} ^ {t} dt '\; \ langle n | V (t ') | k \ rangle \, c_ {k} ^ {(0)} \, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {n}) t' / \ hbar} ~. }

Vários outros resultados decorrem disso, como a regra de ouro de Fermi , que relaciona a taxa de transições entre estados quânticos à densidade de estados em energias particulares; ou a série Dyson , obtida pela aplicação do método iterativo ao operador de evolução no tempo , que é um dos pontos de partida para o método dos diagramas de Feynman .

Método de série Dyson [ editar ]

As perturbações dependentes do tempo podem ser reorganizadas por meio da técnica da série de Dyson . A equação de Schrödinger

$${\ displaystyle H (t) | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial | \ psi (t) \ rangle} {\ partial t}}}

tem a solução formal

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = T \ exp {\ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt'H (t ' ) \ right]} | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~,}

onde T é o operador de ordenação de tempo,

{\ displaystyle TA (t_ {1}) A (t_ {2}) = {\ begin {cases} A (t_ {1}) A (t_ {2}) & t_ {1}> t_ {2} \\ A (t_ {2}) A (t_ {1}) & t_ {2}> t_ {1} \ end {cases}} ~.}

Assim, o exponencial representa a seguinte série de Dyson ,

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} H (t_ {1 }) - {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1} } dt_ {2} H (t_ {1}) H (t_ {2}) + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~.}

Observe que, no segundo termo, o 1/2! fator cancela exatamente a dupla contribuição devido ao operador de ordenação do tempo, etc.

Considere o seguinte problema de perturbação

$${\ displaystyle [H_ {0} + \ lambda V (t)] | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial | \ psi (t) \ rangle} {\ partial t}} ~ ,}

assumindo que o parâmetro λ é pequeno e que o problema$${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle} foi resolvido.

Execute a seguinte transformação unitária para a imagem de interação (ou imagem de Dirac),

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t-t_ {0})} | \ psi _ {I} (t) \ rangle ~.}

Consequentemente, a equação de Schrödinger simplifica para

$${\ displaystyle \ lambda e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t-t_ {0})} V (t) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar} } H_ {0} (t-t_ {0})} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial | \ psi _ {I} (t) \ rangle} { \ parcial t}} ~,}

por isso é resolvido através da série Dyson acima ,

$${\ displaystyle | \ psi _ {I} (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1 } e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ {1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} - {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ {1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {2} -t_ {0})} V (t_ {2}) e ​​^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0 } (t_ {2} -t_ {0})} + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~,}

como uma série de perturbações com λ pequeno .

Usando a solução do problema imperturbável $${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle} e $${\ displaystyle \ sum _ {n} | n \ rangle \ langle n | = 1} (por uma questão de simplicidade, assuma um espectro discreto puro), produz, de primeira ordem,

$${\ displaystyle | \ psi _ {I} (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ sum _ {m} \ sum _ {n} \ int _ { t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ langle m | V (t_ {1}) | n \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {n} -E_ {m}) (t_ {1} -t_ {0})} | m \ rangle \ langle n | + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~.}

Assim, o sistema, inicialmente no estado não perturbado $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = | \ psi (t_ {0}) \ rangle}, por força da perturbação pode entrar no estado $${\ displaystyle | \ beta \ rangle}. A amplitude de probabilidade de transição correspondente para a primeira ordem é

$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} = - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ langle \ beta | V (t_ {1}) | \ alpha \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E _ {\ alpha} -E _ {\ beta}) (t_ {1} -t_ {0})} ~ ,}

conforme detalhado na seção anterior —— enquanto a probabilidade de transição correspondente para um continuum é fornecida pela regra de ouro de Fermi .

Como um aparte, observe que a teoria de perturbação independente do tempo também é organizada dentro desta série de Dyson da teoria de perturbação dependente do tempo. Para ver isso, escreva o operador de evolução unitária, obtido da série Dyson acima , como

$${\ displaystyle U (t) = 1 - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} e ^ {{\ frac {i} { \ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ {1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1 } -t_ {0})} - {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ { t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ { 1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ { 0} (t_ {2} -t_ {0})} V (t_ {2}) e ​​^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {2} -t_ {0} )} + \ cdots}

e considere a perturbação V como independente do tempo.

Usando a resolução de identidade

$${\ displaystyle \ sum _ {n} | n \ rangle \ langle n | = 1}

com $${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle} para um espectro discreto puro, escreva

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} U (t) = 1 & - \ left \ {{\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ sum _ {m} \ sum _ {n} \ langle m | V | n \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {n} -E_ {m}) (t_ { 1} -t_ {0})} | m \ rangle \ langle n | \ right \} \\ & - \ left \ {{\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ sum _ {m} \ sum _ {n} \ sum _ {q} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {n} -E_ {m}) (t_ {1} -t_ {0})} \ langle m | V | n \ rangle \ langle n | V | q \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {q} -E_ {n}) (t_ {2} -t_ {0})} | m \ rangle \ langle q | \ right \} + \ cdots \ end {alinhados}}}

É evidente que, em segunda ordem, deve-se somar todos os estados intermediários. Presumir$${\ displaystyle t_ {0} = 0}e o limite assintótico de tempos maiores. Isso significa que, a cada contribuição da série de perturbações, deve-se adicionar um fator multiplicativo$${\ displaystyle e ^ {- \ epsilon t}}nos integrandos para ε arbitrariamente pequeno. Assim, o limite t → ∞ devolve o estado final do sistema ao eliminar todos os termos oscilantes, mas mantendo os seculares. As integrais são, portanto, calculáveis ​​e, separando os termos diagonais dos outros, resulta

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} U (t) = 1 & - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ sum _ {n} \ langle n | V | n \ rangle t - {\ frac { i \ lambda ^ {2}} {\ hbar}} \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle n | V | m \ rangle \ langle m | V | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {m}}} t - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ sum _ {m, n} \ langle n | V | m \ rangle \ langle m | V | n \ rangle t ^ {2} + \ ldots \\ & + \ lambda \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle m | V | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {m}}} | m \ rangle \ langle n | + \ lambda ^ {2} \ sum _ {m \ neq n} \ sum _ {q \ neq n} \ sum _ {n} {\ frac {\ langle m | V | n \ rangle \ langle n | V | q \ rangle} {(E_ {n} -E_ {m}) (E_ {q} -E_ {n})} } | m \ rangle \ langle q | + \ ldots \ end {alinhados}}}

onde a série temporal produz os autovalores do problema perturbado especificado acima, recursivamente; enquanto que a parte da constante de tempo restante produz as correções para as autofunções estacionárias também dadas acima ($${\ displaystyle | n (\ lambda) \ rangle = U (0; \ lambda) | n \ rangle)}.)

O operador de evolução unitária é aplicável a autoestados arbitrários do problema imperturbado e, neste caso, produz uma série secular que se mantém em pequenos tempos.

Teoria de perturbação forte [ editar ]

De maneira semelhante a pequenas perturbações, é possível desenvolver uma forte teoria de perturbações. Considere, como de costume, a equação de Schrödinger

$${\ displaystyle H (t) | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial | \ psi (t) \ rangle} {\ partial t}}}

e consideramos a questão de se existe uma série dual de Dyson que se aplica no limite de uma perturbação cada vez maior. Esta questão pode ser respondida de forma afirmativa ^[12] e a série é a conhecida série adiabática. ^[13] Esta abordagem é bastante geral e pode ser mostrada da seguinte maneira. Considere o problema de perturbação

$${\ displaystyle [H_ {0} + \ lambda V (t)] | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial | \ psi (t) \ rangle} {\ partial t}}}

sendo λ → ∞ . Nosso objetivo é encontrar uma solução no formulário

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {0} \ rangle + {\ frac {1} {\ lambda}} | \ psi _ {1} \ rangle + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} | \ psi _ {2} \ rangle + \ ldots}

mas uma substituição direta na equação acima não produz resultados úteis. Esta situação pode ser ajustada fazendo um reescalonamento da variável de tempo como$${\ displaystyle \ tau = \ lambda t} produzindo as seguintes equações significativas

$${\ displaystyle V (t) | \ psi _ {0} \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial | \ psi _ {0} \ rangle} {\ partial \ tau}}}

$${\ displaystyle V (t) | \ psi _ {1} \ rangle + H_ {0} | \ psi _ {0} \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial | \ psi _ {1} \ rangle} {\ parcial \ tau}}}

$${\ displaystyle \ vdots}

isso pode ser resolvido uma vez que conheçamos a solução da equação de ordem líder . Mas sabemos que, neste caso, podemos usar a aproximação adiabática . Quando$${\ displaystyle V (t)}não depende do tempo, obtém -se a série Wigner-Kirkwood, que é freqüentemente usada em mecânica estatística . Na verdade, neste caso, introduzimos a transformação unitária

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t-t_ {0})} | \ psi _ {F} (t) \ rangle}

que define uma imagem livre, pois estamos tentando eliminar o termo de interação. Agora, de forma dual com relação às pequenas perturbações, temos que resolver a equação de Schrödinger

$${\ displaystyle e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t-t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t-t_ {0})} | \ psi _ {F} (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi _ {F} (t) \ rangle} {\ parcial t} }}

e vemos que o parâmetro de expansão λ aparece apenas no exponencial e, portanto, a série de Dyson correspondente , uma série de Dyson dual , é significativa em grandes λ s e é

$${\ displaystyle | \ psi _ {F} (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} - {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {2} -t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {2} -t_ {0})} + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}

Após o reescalonamento no tempo $${\ displaystyle \ tau = \ lambda t} podemos ver que esta é realmente uma série em $${\ displaystyle 1 / \ lambda}justificando desta forma o nome de série dual Dyson . A razão é que obtivemos esta série simplesmente trocando H ₀ e V e podemos ir de uma a outra aplicando esta troca. Isso é chamado de princípio da dualidade na teoria das perturbações. A escolha$${\ displaystyle H_ {0} = p ^ {2} / 2m}rende, como já foi dito, uma série Wigner-Kirkwood que é uma expansão gradiente. A série Wigner-Kirkwood é uma série semiclássica com autovalores dados exatamente como para a aproximação de WKB . ^[14]

Exemplos [ editar ]

Exemplo da teoria de perturbação de primeira ordem - energia do estado fundamental do oscilador quartic [ editar ]

Considere o oscilador harmônico quântico com a perturbação de potencial quártico e o hamiltoniano

$${\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {m \ omega ^ {2} x ^ {2}} {2}} + \ lambda x ^ {4}}

O estado fundamental do oscilador harmônico é

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {- \ alpha x ^ {2} / 2}}

($${\ displaystyle \ alpha = m \ omega / \ hbar}) e a energia do estado fundamental imperturbado é

$${\ displaystyle E_ {0} ^ {(0)} = {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega. \,}

Usando a fórmula de correção de primeira ordem, obtemos

$${\ displaystyle E_ {0} ^ {(1)} = \ lambda \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ int e ^ { - \ alpha x ^ {2} / 2} x ^ {4} e ^ {- \ alpha x ^ {2} / 2} dx = \ lambda \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ direita) ^ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ alpha ^ {2}}} \ int e ^ {- \ alpha x ^ {2}} dx }

ou

$${\ displaystyle E_ {0} ^ {(1)} = \ lambda \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ partial \ alpha ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ pi} {\ alpha}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} = \ lambda { \ frac {3} {4}} {\ frac {1} {\ alpha ^ {2}}} = {\ frac {3} {4}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ lambda} {m ^ {2} \ omega ^ {2}}}}

Exemplo da teoria primeira e segunda ordem de perturbação - pêndulo quântico [ editar ]

Considere o pêndulo matemático quântico com o hamiltoniano

$${\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2ma ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ phi ^ {2}}} - \ lambda \ cos \ phi}

com a energia potencial $${\ displaystyle - \ lambda \ cos \ phi} tomado como a perturbação ie

$${\ displaystyle V = - \ cos \ phi}

As funções de onda quântica normalizadas não perturbadas são aquelas do rotor rígido e são dadas por

$${\ displaystyle \ psi _ {n} (\ phi) = {\ frac {e ^ {em \ phi}} {\ sqrt {2 \ pi}}}}

e as energias

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(0)} = {\ frac {\ hbar ^ {2} n ^ {2}} {2ma ^ {2}}}}

A correção de energia de primeira ordem para o rotor devido à energia potencial é

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int e ^ {- em \ phi} \ cos \ phi e ^ {em \ phi} = - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ cos \ phi = 0}

Usando a fórmula para a correção de segunda ordem, obtém-se

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(2)} = {\ frac {ma ^ {2}} {2 \ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}}} \ sum _ {k} {\ frac { \ left | \ int e ^ {- ik \ phi} \ cos \ phi e ^ {in \ phi} \ right | ^ {2}} {n ^ {2} -k ^ {2}}}}

ou

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(2)} = {\ frac {ma ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} \ sum _ {k} {\ frac {\ left | \ left ( \ delta _ {n, 1-k} + \ delta _ {n, -1-k} \ right) \ right | ^ {2}} {n ^ {2} -k ^ {2}}}}

ou

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(2)} = {\ frac {ma ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {2n-1}} + {\ frac {1} {- 2n-1}} \ right) = {\ frac {ma ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} {\ frac {1} {4n ^ {2} -1 }}}

Energia potencial como uma perturbação [ editar ]

Quando o estado não perturbado é o movimento livre de uma partícula com energia cinética $${\ displaystyle E}, a solução da equação de Schrödinger

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi ^ {(0)} + k ^ {2} \ psi ^ {(0)} = 0}

corresponde a ondas planas com número de onda $${\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}}}. Se houver uma energia potencial fraca$${\ displaystyle U (x, y, z)} presente no espaço, na primeira aproximação, o estado perturbado é descrito pela equação

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi ^ {(1)} + k ^ {2} \ psi ^ {(1)} = {\ frac {2mU} {\ hbar ^ {2}}} \ psi ^ {(0)}}

cuja integral particular é ^[15]

$${\ displaystyle \ psi ^ {(1)} (x, y, z) = - {\ frac {m} {2 \ pi \ hbar ^ {2}}} \ int \ psi ^ {(0)} U ( x ', y', z ') {\ frac {e ^ {ikr}} {r}} \, dx'dy'dz'}

Onde $${\ displaystyle r ^ {2} = (x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2} + (z-z ') ^ {2}}. No caso bidimensional, a solução é

$${\ displaystyle \ psi ^ {(1)} (x, y) = - {\ frac {im} {2 \ hbar ^ {2}}} \ int \ psi ^ {(0)} U (x ', y ') H_ {0} ^ {(1)} (kr) \, dx'dy'}

Onde $${\ displaystyle r ^ {2} = (x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2}} e $${\ displaystyle H_ {0} ^ {(1)}}é a função de Hankel do primeiro tipo . No caso unidimensional, a solução é

$${\ displaystyle \ psi ^ {(1)} (x) = - {\ frac {im} {\ hbar ^ {2}}} \ int \ psi ^ {(0)} U (x ') {\ frac { e ^ {ikr}} {k}} \, dx '}

Onde $${\ displaystyle r = | x-x '|}.