TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

X

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO 

EM=

Formulação de Feynman da mecânica quântica

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A formulação de Feynman da mecânica quântica ou formulação de integrais de caminho da mecânica quântica é uma descrição da teoria quântica que generaliza a ação da mecânica clássica. Ela substitui a noção clássica de uma única trajetória para um sistema por uma soma, ou integral funcional, por meio de uma infinidade de trajetórias possíveis para calcular a amplitude quântica.

A ideia básica da formulação de integral de caminho é originária de Norbert Wiener, que apresentou o processo de Wiener para a solucionar problemas de difusão e movimento Browniano.^[1] Esta idéia foi estendida para o uso do Lagrangiana na mecânica quântica por P. A. M. Dirac em seu artigo de 1933^[2] . O método completo foi desenvolvido em 1948 por Richard Feynman. Algumas preliminares foram trabalhados anteriormente, no curso de sua tese de doutorado no trabalho de John Archibald Wheeler. A motivação original surgiu da aspiração  de obter uma formulação da mecânica quântica para a teoria de teoria de ação à distância de Wheeler e Feynman usando uma Lagrangeana (ao invés de um Hamiltoniano) como ponto de partida.

Esta formulação tem se provado fundamental para o desenvolvimento posterior da física teórica, por ser manifestamente simétrica entre o tempo e o espaço. Ao contrário dos métodos anteriores, a formulação de integral de caminho-integral permite facilmente a mudança de coordenadas entre descrições canônicas diferentes do mesmo sistema quântico.

A formulação de integral de caminho também relaciona processos quânticos e estocásticos, fornecendo a base para a grande síntese, na década de 1970 que unificou a teoria quântica de campos com a teoria de campos estatísticos de campo flutuante perto de uma transição de fase de segunda ordem. A equação de Schrödinger é uma equação de difusão com uma constante de difusão imaginária, sendo a integral de caminho uma continuação analítica do método para a soma de todos as possíveis caminhadas aleatórias. Por esta razão integrais de caminho foram utilizados no estudo de difusão e movimento Browniano pouco antes de serem introduzidos na mecânica quântica.^[3]

Estes são apenas três dos caminhos que contribuem para amplitude quântica de uma partícula movendo-se do ponto A em tempo t₀ para o ponto B em  t₁.

Índice

• 1 Princípio da ação quântica
• 2Interpretação de Feynman
• 3Formulação concreta
  • 3.1Definição da fração temporal (time-slicing)
  • 3.2Partícula livre
  • 3.3Oscilador harmônico simples
  • 3.4A equação de Schrödinger
  • 3.5Equações do movimento
  • 3.6Aproximação de fase estacionária
  • 3.7Relações de comutação canônicas
  • 3.8Partícula no espaço curvo
  • 3.9A integral de caminho e a função de partição
  • 3.10Medida de fatores teóricos
• 4Teoria quântica de campos
  • 4.1O propagador
  • 4.2Funcionais dos campos
  • 4.3Valores esperados
  • 4.4Probabilidade
  • 4.5Equações de Schwinger–Dyson
• 5Localização
  • 5.1Identidades de Ward–Takahashi 
• 6A necessidade de reguladores e renormalização
• 7A formulação em integral de caminho na interpretação da mecânica quântica 
• 8Gravidade quântica
• 9Tunelamento quântico
• 10Ver também
• 11Referências
• 12Notas
• 13Leituras sugeridas
• 14Ligações externas

 Princípio da ação quântica

Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes. Ajude a inserir referências. O conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico) (Março de 2019)

Na mecânica quântica, assim como na mecânica clássica, o Hamiltoniano é o gerador de translações temporais. Isto significa que o estado em um tempo posterior difere do estado atual pela atuação do operador Hamiltoniano (multiplicado pelo negativo unidade imaginária, −i). Para os estados com uma determinada energia, esta é uma instrução de relação de De Broglie entre a freqüência e a energia, e a relação geral é consistente com o que e o princípio da superposição.

No entanto, na mecânica clássica o Hamiltoniano é derivado a partir de um Lagrangeana,  que é uma quantidade mais fundamental em relação à relatividade especial. O Hamiltoniano indica como o movimento se desenvolve no tempo, mas o tempo é diferente em diferentes sistemas de referência. Assim, o Hamiltoniano é diferente em referenciais diferentes e este tipo de simetria não é aparente na formulação original da mecânica quântica.

O hamiltoniano é uma função da posição e momento no tempo t, determinando a posição e o momento no tempo (t+ε). A Lagrangiana é uma função das posição em t e (t+ε) (para um intervalo de tempo infinitesimal, a velocidade é medida é a velicidade instantânea, tornando a Lagrangeana como função da posição e da velocidade). A relação entre os dois é por uma transformação de Legendre e a condição que determina as equações de movimento (ou equações de Euler–Lagrange) é a extremização da ação.

Na mecânica quântica, uma transformação de Legendre é difícil de interpretar uma vez que o movimento não é dado por uma trajetória definida. Na mecânica clássica, a discretização temporal da transformação de Legendre torna-se:

${\displaystyle \epsilon H=p(t)(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon L\,}$

e

${\displaystyle p={\partial L \over \partial {\dot {q}}}\,}$

onde a derivada parcial com relação a mantém q(t + ε) constante. A inversa da transformação de Legendre é:

${\displaystyle \epsilon L=\epsilon p{\dot {q}}-\epsilon H\,}$

onde

${\displaystyle {\dot {q}}={\partial H \over \partial p}\,}$

tomando q fixo.

Na mecânica quântica, um estado qualquer é uma superposição de estados independentes, com diferentes valores de q, ou diferentes valores de p, sendo que o momento e a posição  (p e q) podem ser interpretadas como operadores que não comutam. O operador p é definitivo em estados onde q são indeterminados. Considere dois estados separados no tempo. A atuação do operador correspondente à Lagrangiana:

${\displaystyle e^{i(p(q(t+\epsilon )-q(t))-\epsilon H(p,q))}\,}$

Se a multiplicação implícita na fórmula são reinterpretados como multiplicação de matrizes, o primeiro fator é:

${\displaystyle e^{-ipq(t)}\,}$

Se esse também é interpretado como uma multiplicação de matrizes, a soma sobre todos os estados integra todos q(t), levando a transformada de Fourier em q(t), mudando a base para p(t). Isto é a ação sobre o espaço de Hilbert – mudar de base para p no tempo t.

Em seguida, tem-se:

${\displaystyle e^{-i\epsilon H(p,q)}\,}$

que é uma  evolução infinitesimal para o futuro.

Finalmente, o último fator, nessa interpretação, é:

${\displaystyle e^{ipq(t+\epsilon )}\,}$

que é uma mudança de base de volta para q no tempo (t+ε).

Isto não é diferente do operador de evolução temporal: o fator H contém toda informação da dinâmica, avançando o estado no tempo. A primeira e a última parte são as transformadas de Fourier para a mudança na base pura de q a partir de uma base intermediária p. 

De forma equivalente, pode-se dizer que: uma vez que o Hamiltoniano é naturalmente uma função de p e q, exponenciando estas quantidades  e realizando uma mudança de base de p para q em cada passo permite expressar o elemento da matriz de H como uma função simples ao longo de cada caminho. Esta função é o análogo quântico da ação clássica. Esta observação é feita por Paul Dirac.

Dirac observou ainda que se pudesse, o quadrado do tempo-a evolução do operador no S representação:

${\displaystyle e^{i\epsilon S}\,}$

e isso é o operador de evolução temporal entre o tempo t e o tempo t + 2ε. Enquanto que na representação H a quantidade que está sendo somada nos estados intermediários é um elemento de matriz obscuro, na representação S esta é reinterpretado como uma quantidade associada ao caminho. No limite que leva um grande poder de esse operador, reconstrói-se a evolução quântica completa entre dois estados sendo o estada mais antigo com valor fixo q(0) a o estado mais recente com valor q(t). O resultado é uma soma sobre os caminhos com uma fase que é a ação quântica. Crucialmente, Dirac identificada  neste papel, a profundidade da mecânica quântica razão do princípio da mínima ação de controlar o limite clássico.

Interpretação de Feynman

O trabalho de Dirac não fornece uma prescrição para calcular a soma sobre os caminhos e  não mostra como recuperar a equação de Schrödinger ou as relações de comutação canônica a partir desta regra. Isto foi feito por Feynman^[4] , que sugeriu que no limite clássico a trajetória clássica surge naturalmente. 

Feynman mostrou que a ação quântica de Dirac foi, para a maioria dos casos de interesse, simplesmente igual a ação clássico, devidamente discretizado. Isso significa que a ação clássica é a fase adquirida pela evolução quântica entre dois pontos fixos. Feynman propẽ a recuperação de toda a mecânica quântica a partir dos seguintes postulados:

1. A probabilidade de um dado evento é dado pelo modulo quadrado de uma quantidade chamada de "amplitude de probabilidade".
2. A amplitude de probabilidade é dado somando a contribuição de todos os caminhos no espaço de configurações
3. A contribuição de um caminho em particular é proporcional à ${\displaystyle e^{iS/\hbar }}$, onde S é a ação dado pela integral temporal da Lagrangeana ao longo do caminho. 

Para encontrar a amplitude de probabilidade global para um determinado processo, soma-se, ou integra-se, a amplitude do 3º postulado sobre o espaço de todos os possíveis caminhos de sistema entre o estado inicial e o estado final, inclusive aqueles que são absurdos para o caso clássico. No cálculo da amplitude de probabilidade para uma única partícula, indo de uma coordenada espaço-tempo de coordenadas para outro, é correto incluir caminhos em que a partícula descreve trajetórias elaboradas,(curlicues) curvas em que a partícula dispara para o espaço sideral e volta novamente, e assim por diante. A integral de caminho integral atribui a todas estas amplitudes um mesmo peso, variando a fase de cada um, ou o argumento do número complexo. Contribuições de caminhos muito diferentes da trajetória clássica pode ser suprimida por interferência (ver abaixo).

Feynman mostrou que esta formulação da mecânica quântica é equivalente a aproximação canônica da mecânica quântica quando o Hamiltoniano possui, no máximo, termos quadráticos no momento. Uma amplitude calculada de acordo com o princípio de Feynman irá também obedecer a equação de Schrödinger para o Hamiltoniano correspondente à determinada ação.

A formulação de integral de caminho da teoria quântica de campos representa a amplitude de transição (correspondente a função correlação clássica) como uma soma ponderada de todos os possíveis histórias do sistema, de um estado inicial a um estado final. Um diagrama de Feynman é uma representação gráfica de uma contribuição perturbativa para a amplitude de transição.

Formulação concreta

Os postulados de Feynman são interpretados da seguinte maneira:

Definição da fração temporal (time-slicing)

Para uma partícula em um potencial suave, a integral de caminho é aproximada por caminhos em zig-zag, que, em uma dimensão, a integral de caminho é o produto de integrais ordinárias. Para o movimento de uma partícula que parte da posição x_a no tempo t_a e chega em x_b no tempo t_b, a seqüência de tempo:

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<...<t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

é dividida em (n + 1) segmentos de tempo (t_j − t_{j − 1)}, onde j = 1,...,n + 1, onde

${\displaystyle \epsilon =\Delta t={\tfrac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}\,.}$

é uma duração de tempo fixo. Este processo é chamado de fração temporal (time-slicing).

Uma aproximação para a integral de caminho pode ser calculada como proporcional à

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ldots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\,\ \exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}L(x(t),v(t),t)\,\mathrm {d} t\right)dx_{0}\,\ldots \,dx_{n}}$

onde é a Lagrangiana do sistema unidimensional com posição x(t), velocidade v = ẋ(t) e dx_j corresponde à posição no j-ésimo passo de tempo, quando a integral temporal é aproximada por uma soma de n termos.^{[note 1]}

No limite n → ∞, a integral torna-se um integral funcional, que, a menos de fatores não essenciais, é o produto das amplitudes das probabilidade (as respectivas densidades desde que cada um seja representado em um espectro contínuo) para encontrar a partícula quântica  em t₀ no seu estado inicial x_a e em t_b no estado final x_b.

Na verdade, é a Lagrangiana clássica do sitema unidimensional considerado, que obedece a relação:

${\displaystyle L(x,{\dot {x}},t)=p\cdot {\dot {x}}-H(x,p,t)\,,}$

onde é o Hamiltoniano, e:

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}}$,e, acima mencionado, "ziguezague" corresponde ao aparecimento dos termos:

${\displaystyle \exp \left({\frac {\rm {i}}{\hbar }}\epsilon \,\,\sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\epsilon }},j\right)\right)}$

Na aproximação da soma Riemaniana a integral temporal, que é finalmente integrada de x₁ a x_n com a integração medida dx₁...dx_n, x_j é um valor arbitrário do intervalo correspondente ao j, ou seja, com seu centro entre (x_j + xj-1)/2.

Assim, em contraste com a mecânica clássica, não é apenas o caminho estacionário que contribui, na verdade, todos os caminhos virtuais entre o ponto inicial e o ponto final também contribuem.

O diagrama mostra a contribuição para integral de caminho de uma partícula livre para um conjunto de caminhos.

A aproximação de fatias temporais de Feynman aproximação, contudo, não existe para o mais importante de mecânica quântica caminho integrais de átomos, devido à singularidade do potencial de Coulomb e²/r na origem. Somente depois de substituir o tempo t por outro caminho dependentes de pseudo-parâmetro de tempo de

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

a singularidade é removido e a aproximação de fração temporal existe, que é exatamente integrável, uma vez que pode ser feita a partir de uma simples transformação de coordenadas, como foi descoberto em 1979 por Ismail Hakkı Duru e Hagen Kleinert.^[5][6] A combinação de um caminho dependentes do tempo, a transformação e a transformação de coordenadas é uma ferramenta importante para a resolução de muitos caminho integrais e é chamado genericamente de transformação Duru–Kleinert.

Partícula livre

A representação em integral de caminho a amplitude quântica para ir do ponto x ao ponto y como uma integral sobre todos os caminhos. Para uma partícual livre, a ação (por simplicidade onsiderando m = 1, ħ = 1):

${\displaystyle S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\,}$

a integral pode ser avaliada de forma explícita.

Para fazer isso, é conveniente iniciar sem o factor i no exponencial, de forma que grandes desvios são suprimidas por pequenos números, não anulando  contribuições oscilatórias.

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left\{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt\right\}Dx\,}$

Dividindo a integral em frações de tempo:

${\displaystyle K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\Pi _{t}\exp \left\{-{1 \over 2}\left({x(t+\epsilon )-x(t) \over \epsilon }\right)^{2}\epsilon \right\}Dx\,}$

onde Dx é interpretado como uma coleção finita de integrações em cada múltiplo inteiro de ε. Cada fator do produto é uma Gaussiana como uma função de x(t + ε) centrada em x(t) com variância de ε. As múltiplas integrais são convoluções repetidas desta Gaussiana G_ε com cópias de si próprio em tempos adjacentes.

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\epsilon }*G_{\epsilon }...*G_{\epsilon }\,}$

Onde o número de circunvoluções é T/ε. O resultado é fácil calcular tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, de modo que as convoluções tornam-se multiplicações.

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\epsilon }(p)^{T/\epsilon }\,}$

A transformada de Fourier da Gaussiana G é outra Gaussiana da variância recíproca:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\epsilon }(p)=e^{-\epsilon {p^{2}/2}}\,}$

e o resultado é:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-T{p^{2}/2}}\,}$

A transformada de Fourier resulta em K, e é uma Gaussiana novamente com variância reciproca:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{(x-y)^{2}/(2T)}}\,}$

A constante de proporcionalidade não é determinado pela abordagem de fração temporal, mas a relação de valores para diferentes extremidade é determinado. A constante de proporcionalidade é escolhida de forma a garantir que  entre duas frações de tempo o operador de evolução temporal é unitária. Uma forma mais clara de fixar a normalização é considerar a integral de caminho como uma descrição de um processo estocástico.

O resultado tem uma interpretaçã probabilistica. A soma sobre todos os caminhos do fator exponencial pode ser entendido como a soma da probabilidade da escolha de cada caminho. A probabilidade é o produto sobre cada segmento da probabilidade de escolher aquele segmento, de modo que cada probabilidade de cada segmento é independentemente de todos os outros. O fato de se obter uma Gaussiana espalhando de forma linear no tempo é resultado  do teorema do limite central, que pode ser interpretada como a primeira avaliação histórica da integral de caminho estatística.

A interpretação probabilística lea a uma escolha de normalização natural. A integral de caminho pode ser definido tal que: 

${\displaystyle \int K(x-y;T)dy=1\,}$

Esta condição normaliza o Gaussiana, e produz um Kernel que obedece a equação de difusão:

${\displaystyle {d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K\,}$

Para integrais de caminho oscilatório, com um i (número imaginário) no numerador, a fração temporal produz convolved Gaussians, exatamente como antes. No entanto, agora o produto das convoluções é um pouco singular, pois requer cuidadosos limites para avaliar a integral oscilatoria. Para fazer a fatores bem definidos, a maneira mais fácil é adicionar uma pequena parte imaginária ao incremento de tempo . Isto está intimamente relacionado com a rotação de Wick. Então, o mesmo argumento da convolução resulta no propagador:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{i(x-y)^{2}/(2T)}\,}$

Que, com a mesma normalização de antes ( não a soma dos quadrados de normalização - esta função tem uma norma divergente) , obedece a uma equação de Schrödinger livre

${\displaystyle {d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K\,}$

 Isto significa que qualquer superposição de K's irá, também, obedecer à mesma equação devido a linearidade. Definindo:

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx\,}$

 ψ_t obedece a equação de Schrödinger da mesma forma que K:

${\displaystyle {\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}\,}$

Oscilador harmônico simples

A lagrangiana do oscilador harmônico simples é:${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\;.}$ ${\displaystyle x(t)=x_{c}(t)+\delta x(t)}$ , a ação torna-se ${\displaystyle S=S_{c}+\delta S}$. A trajetória clássica pode ser escrito como:

${\displaystyle x_{c}(t)=x_{i}{\frac {\sin {\omega (t_{f}-t)}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}+x_{f}{\frac {\sin {\omega (t-t_{i})}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\;.}$

Esta trajetória obedece à ação clássica:

${\displaystyle S_{c}=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\;\mathrm {d} t=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m\omega \left[{\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega (t_{f}-t_{i})}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}\right]}$

Em seguida, expande-se a contribuição não clássica em ${\displaystyle \delta S}$, como em uma série de Fourier, que resulta em:

${\displaystyle S=S_{c}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right]}$

o que significa que o propagador é:

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int \;\mathrm {d} a_{j}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right]}=e^{iS_{c}/\hbar }Q\prod _{j=1}^{\infty }\left[1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right]^{-1/2}}$

para alguns de normalização: ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}}$.

Usando a representação por produtória da função seno  ${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin {\pi x}}{\pi x}}}$, o propagador pode ser escrita como

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}=e^{iS_{c}/\hbar }{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega (t_{f}-t_{i})}}}}}$

Seja: ${\displaystyle T=t_{f}-t_{i}}$. Podemos escrever o propagador em termos das energias dos auto-estados:

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin {\omega T}}}\right)^{1/2}\exp {\left[{\frac {i}{\hbar }}{\frac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos {\omega T}-2x_{i}x_{f}}{\sin {\omega T}}}\right]}=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})^{*}\psi _{n}(x_{i})\;.}$

usando as identidades ${\displaystyle i\sin {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)}$ and ${\displaystyle \cos {\omega T}={\frac {e^{i\omega T}}{2}}\left(1+e^{-2i\omega T}\right)}$,

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-1/2}\exp {\left[-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left\{(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right\}\right]}}$

Podemos absorver todos os termos após ${\displaystyle e^{-i\omega T/2}}$ em${\displaystyle R(T)}$,resultando em:

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/2}e^{-i\omega T/2}\cdot R(T)\;.}$

Expandindo ${\displaystyle R(T)}$à potencias de ${\displaystyle e^{-i\omega T}}$. Todos os termos nessa expansão são multiplicados pelo fator ${\displaystyle e^{-i\omega T/2}}$ que resultam em termos da forma ${\displaystyle e^{-i\omega T/2}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T({\frac {1}{2}}+n)}}$ com${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$. Comparing that to the eigenstate expansion, we get the energy spectrum for simple harmonic oscillator,

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega \;.}$

A equação de Schrödinger

A integral de caminhol reproduz a equação de Schrödinger para os estados iniciais e finais, mesmo quando um potencial está presente. Isso é fácil de ver tomando a integral de caminho sobre intervalos de tempos infinitesimalmente separados.

${\displaystyle \psi (y;t+\epsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\;\;\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\epsilon )=y}e^{{\rm {i}}\int _{t}^{t+\epsilon }({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}-V(x))dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Uma vez que  a fração de tempo é infinitesimal e as oscilações (que se cancelam) tornaram-se mais bruscas para grandes valores de ẋ, a integral de caminho passa a ser mais relevante para para y próximo de x. Neste caso, a ordem mais baixa da energia potencial é constante, e apenas a contribuição de energia cinética é não trivial. O termo da ação é:

${\displaystyle e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\epsilon }\,}$

O primeiro termo gira a fase de ψ(x) localmente por uma quantidade proporcional à energia potencial. O segundo termo é o propagador da partícula livre, correspondente a i vezes um processo de difusão.  Para a ordem mais baixa em ε os termos são aditivos.

${\displaystyle \psi (y;t+\epsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-{\rm {i}}\epsilon V(x)}e^{{\rm {i}}(x-y)^{2} \over 2\epsilon }dx\,.}$

Como mencionado, o espalhamento difusivo em ψ provem do propagador da partícula livre, com uma rotação infinitesimal na fase que varia lentamente de ponto a ponto do potencial. Além disso, tem-se que:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\rm {i}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right]\psi \,}$

que é a equação de Schrödinger. Observe que a normalização da integral de caminho precisa ser corrigido da mesma maneira como no caso da partícula. Um potencial arbitrário contínuo não afeta a normalização, embora potenciais singulares exigem um tratamento cuidadoso.

Equações do movimento

Uma vez que os estados obedecer a equação de Schrödinger, a integral de caminho deve reproduzir as equações de movimento de Heisenberg para as médias de x e ẋ, mas é mais instrutivo ver isso diretamente. A abordagem direta mostra que a valores esperados calculados a partir da integral de caminho integral reproduzem os valores esperados usuais da mecânica quântica.

Começando por considerar a integral de caminho integral em estado inicial fixo.

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{{\rm {i}}S(x,{\dot {x}})}Dx\,}$

Note que que x(t) em cada tempo é uma variável de integração. Assim, é legítima a mudança de variáveis na integral : x(t) = u(t) +ε(t) onde ε(t) é uma deslocamento que pode ser diferente para cada valor de t, impondo condições nos extremos por ε(0) = ε(T) = 0, para que assim os pontos das extremidades não sejam incorporados a integral:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{{\rm {i}}S(u+\epsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\epsilon }})}Du\,}$

A alteração na integral por deslocamentos é, em ordem infinitesimal na variável ε:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\partial S \over \partial u}\epsilon +{\partial S \over \partial {\dot {u}}}{\dot {\epsilon }}dt\right)e^{iS}Du\,}$

que, integrando por partes em t, obtém-se:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({d \over dt}{\partial S \over \partial {\dot {u}}}-{\partial S \over \partial u}\right)\epsilon (t)dt\right)e^{iS}Du\,}$

Mas isso foi apenas uma deslocamento nas variáveis de integração, o que não altera o valor da integral para qualquer escolha de ε(t). A conclusão é que a variações de primeira ordem é zero para um estado inicial arbitrário e em qualquer ponto arbitrário no tempo:

${\displaystyle \langle \psi _{0}|{\delta S \over \delta x}(t)|\psi _{0}\rangle =0\,}$

que é a equação de movimento de Heisenberg.

Se a ação contém termos que multiplicam ẋ e x, para um mesmo tempo t, manipulações acima são apenas heurístico, pois as regras de multiplicação para essas quantidades não comutam (na formulação de integral de caminho) assim como é no formalismo de operadores.